Diagonal of Polygon Formula là gì? Công thức tính đường chéo đa giác và bài tập có lời giải

Diagonal of Polygon Formula là công thức tính số đường chéo của một đa giác dựa trên số cạnh. Trong hình học và SAT Math, kiến thức này giúp học sinh xác định nhanh số đường chéo của tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác và các đa giác có nhiều cạnh hơn. Thay vì đếm từng đường chéo trên hình vẽ, bạn có thể áp dụng công thức tổng quát để giải bài toán chính xác và tiết kiệm thời gian.

1. Diagonal of Polygon là gì?

Trong hình học, diagonal of a polygon (đường chéo của đa giác) là đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau của đa giác.

Ví dụ:

• Tam giác không có đường chéo vì mọi cặp đỉnh đều kề nhau.
• Hình vuông có 2 đường chéo nối hai cặp đỉnh đối diện.
• Ngũ giác có 5 đường chéo.
• Lục giác có 9 đường chéo.

Điểm quan trọng cần nhớ là đường chéo phải nối hai đỉnh không kề nhau và nằm trong đa giác lồi khi xét các đường chéo theo định nghĩa hình học thông thường.

Công thức tính số đường chéo của đa giác

Với đa giác lồi có n cạnh (n ≥ 3):

D = n(n − 3) ÷ 2

Vì sao công thức là n(n − 3) ÷ 2?

1. Từ mỗi đỉnh, bạn không thể nối tới chính nó và hai đỉnh kề bên, nên có n − 3 đường chéo xuất phát từ mỗi đỉnh.
2. Có n đỉnh nên tổng cộng có n × (n − 3) đoạn.
3. Mỗi đường chéo bị đếm hai lần (một lần từ mỗi đầu mút), nên ta chia 2.

Cách khác: số đoạn thẳng nối mọi cặp đỉnh là n(n − 1) ÷ 2. Trừ đi n cạnh, ta được n(n − 1) ÷ 2 − n = n(n − 3) ÷ 2.

Bảng số đường chéo của các đa giác thường gặp

Công thức độ dài đường chéo của một số hình cụ thể

Công thức n(n − 3) ÷ 2 chỉ cho biết số lượng đường chéo. Muốn biết độ dài, bạn cần dùng công thức riêng cho từng hình.

Hình vuông (Square)

Cạnh s thì đường chéo là:

d = s√2

Hình chữ nhật (Rectangle)

Chiều dài l, chiều rộng w, áp dụng định lý Pytago:

d = √(l² + w²)

Hình thoi (Rhombus)

Hai đường chéo d₁ và d₂ vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên:

• Cạnh = √((d₁ ÷ 2)² + (d₂ ÷ 2)²)
• Diện tích = d₁ × d₂ ÷ 2

Hình bình hành (Parallelogram)

Với hai cạnh a, b và hai đường chéo d₁, d₂:

d₁² + d₂² = 2(a² + b²)

Lục giác đều (Regular Hexagon) có cạnh s

• Đường chéo dài (đi qua tâm): 2s
• Đường chéo ngắn: s√3

Ngũ giác đều (Regular Pentagon) có cạnh s

d ≈ 1,618 × s (tỉ lệ vàng)

Mở rộng sang không gian: hình hộp chữ nhật

Đường chéo không gian của hình hộp có ba kích thước l, w, h là:

d = √(l² + w² + h²)

Với hình lập phương cạnh s, công thức này trở thành d = s√3.

Cách giải bài tập về đường chéo đa giác trong 3 bước

1. Xác định đề hỏi gì: số lượng đường chéo hay độ dài đường chéo.
2. Chọn công thức phù hợp: n(n − 3) ÷ 2 cho số lượng; Pytago hoặc công thức riêng cho độ dài.
3. Kiểm tra lại: kết quả có hợp lý không (số đường chéo phải là số nguyên, độ dài đường chéo luôn lớn hơn mỗi cạnh trong hình vuông và hình chữ nhật).

Bài tập vận dụng có lời giải

Bài 1. Một bát giác (8 cạnh) lồi có bao nhiêu đường chéo?

Giải: D = 8 × (8 − 3) ÷ 2 = 8 × 5 ÷ 2 = 20.

Bài 2. Một đa giác lồi có 35 đường chéo. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?

Giải: n(n − 3) ÷ 2 = 35, suy ra n² − 3n − 70 = 0, hay (n − 10)(n + 7) = 0. Vì n > 0 nên n = 10. Kiểm tra: 10 × 7 ÷ 2 = 35.

Bài 3. Hình chữ nhật có chiều dài 12 và chiều rộng 9. Tính độ dài đường chéo.

Giải: d = √(12² + 9²) = √(144 + 81) = √225 = 15.

Bài 4. Hình vuông có đường chéo dài 10. Tính diện tích hình vuông.

Giải: Cạnh s = 10 ÷ √2 = 5√2. Diện tích = s² = (5√2)² = 50.

Bài 5. Hình thoi có hai đường chéo dài 10 và 24. Tính chu vi.

Giải: Nửa hai đường chéo là 5 và 12, nên cạnh = √(5² + 12²) = 13. Chu vi = 4 × 13 = 52.

Bài 6. Một hộp hình chữ nhật có kích thước 3 × 4 × 12. Tính độ dài đường chéo không gian.

Giải: d = √(3² + 4² + 12²) = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13.

Đường chéo đa giác xuất hiện thế nào trong SAT Math?

Digital SAT hiếm khi hỏi trực tiếp công thức số đường chéo, nhưng kiến thức về đường chéo xuất hiện nhiều trong các dạng sau:

• Hình vuông và hình chữ nhật: cho đường chéo, tìm cạnh, chu vi hoặc diện tích (như Bài 3 và Bài 4).
• Tam giác vuông đặc biệt: đường chéo hình vuông tạo ra tam giác 45°–45°–90°.
• Lục giác đều: chia thành 6 tam giác đều, đường chéo dài bằng 2 lần cạnh.
• Hình khối 3D: đường chéo hộp chữ nhật và hình lập phương.
• theo phong cách chuyên nghiệp hơn cho tôi

Mẹo giải nhanh

• Đối với hình vuông: Ghi nhớ tỉ lệ giữa cạnh và đường chéo là 1:1:2 để xác định độ dài đường chéo nhanh chóng.
• Đối với hình chữ nhật: Vận dụng định lý Pytago và ghi nhớ các bộ ba số Pytago phổ biến như 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 để rút ngắn thời gian tính toán.
• Đối với lục giác đều: Khai thác cấu trúc gồm sáu tam giác đều bằng nhau để xác định độ dài các đường chéo, thay vì tính toán từng đoạn riêng lẻ.
• Đối với bài toán hình học: Chủ động phác họa hình, đánh dấu các cạnh đã biết và xác định rõ đại lượng cần tìm trước khi áp dụng công thức.

Những lỗi thường gặp khi tính đường chéo đa giác

1. Quên chia 2 trong công thức tính tổng số đường chéo: Công thức n (n-3)/2 đã tính đến việc mỗi đường chéo được nối từ hai đỉnh, tránh tình trạng đếm trùng.
2. Nhầm số đường chéo xuất phát từ một đỉnh: Với đa giác n cạnh, số đường chéo kẻ từ một đỉnh là n-3, không phải n-2. Đại lượng n-2 tương ứng với số tam giác được tạo thành khi chia một đa giác lồi thành các tam giác bằng cách kẻ đường chéo từ một đỉnh.
3. Nhầm lẫn giữa cạnh và đường chéo: Đặc biệt với lục giác đều, cần phân biệt cạnh nối hai đỉnh liền kề với đường chéo nối hai đỉnh không liền kề.
4. Áp dụng công thức không đúng điều kiện: Công thức n(n-3)/2 được sử dụng để tính số đường chéo của đa giác lồi thông thường. Với đa giác lõm hoặc đa giác sao, cần xác định rõ định nghĩa và cách đếm đường chéo của bài toán trước khi áp dụng.
5. Sai sót khi sử dụng định lý Pytago: Cần thực hiện đúng các phép bình phương, cộng hoặc trừ và lấy căn bậc hai khi tìm độ dài cạnh chưa biết, đồng thời kiểm tra kết quả để bảo đảm phù hợp với dữ kiện đề bài.

Nâng cao kỹ năng hình học SAT Math cùng ETEST

Để chinh phục các câu hỏi hình học trong SAT Math, học sinh cần kết hợp kiến thức công thức, khả năng nhận diện dạng bài và kỹ năng phân bổ thời gian hợp lý. Tại ETEST, lộ trình học được xây dựng theo từng bước, bắt đầu từ kiểm tra đầu vào, củng cố kiến thức hình học nền tảng và thuật ngữ toán học tiếng Anh, đến luyện tập chuyên sâu theo từng dạng bài. Học sinh tiếp tục làm bài thi thử có giới hạn thời gian, phân tích lỗi sai và điều chỉnh phương pháp giải nhằm nâng cao độ chính xác, tối ưu tốc độ làm bài và từng bước cải thiện điểm Digital SAT.

Câu hỏi thường gặp về diagonal of polygon formula

1. Công thức tính số đường chéo của đa giác là gì?
   D = n(n − 3) ÷ 2, trong đó n là số cạnh của đa giác lồi.
2. Vì sao phải trừ 3 trong công thức?
   Vì từ mỗi đỉnh, bạn không thể nối với chính nó và hai đỉnh kề bên, nên chỉ còn n − 3 đỉnh để tạo đường chéo.
3. Tam giác có đường chéo không?
   Không. Mọi cặp đỉnh của tam giác đều kề nhau nên không có đường chéo nào. Công thức cho ra 3 × 0 ÷ 2 = 0.
4. Làm sao tính độ dài đường chéo của hình chữ nhật và hình vuông?
   Hình chữ nhật dùng d = √(l² + w²). Hình vuông cạnh s có đường chéo d = s√2.
5. Đường chéo đa giác có xuất hiện trong SAT Math không?
   Có, chủ yếu qua hình vuông, hình chữ nhật, lục giác đều và hình khối 3D, thường kết hợp với định lý Pytago. ETEST lồng các kiến thức nền này vào lộ trình để học viên không mất điểm ở những câu tưởng dễ.