Chia đa thức trong SAT Math: Quy tắc, phương pháp và bài tập vận dụng

Trong SAT Math, đa thức (Polynomial) là một phần kiến thức quan trọng thuộc nhóm Advanced Math, liên quan đến nhiều kỹ năng như biến đổi biểu thức, phân tích nhân tử, giải phương trình và xử lý phân thức đại số. Trong đó, chia đa thức (Polynomial Division) giúp học sinh xác định thương, số dư và mối quan hệ giữa các biểu thức đại số.

Tuy nhiên, không ít học sinh gặp khó khăn khi thực hiện phép chia dài, đặc biệt với các đa thức có nhiều hạng tử, hệ số âm hoặc bậc khác nhau. Để giải quyết vấn đề này, ETEST sẽ hệ thống hóa khái niệm chia đa thức trong SAT Math và tổng hợp các công thức để giúp học sinh có thể lựa chọn phương pháp giải phù hợp qua bài viết dưới đây

Chia đa thức là gì? (Polynomial Division)

1. Khái niệm đa thức (Polynomial)

Đa thức là một biểu thức đại số gồm tổng hoặc hiệu của các đơn thức, trong đó số mũ của biến là các số nguyên không âm.

Ví dụ: P(x)=3x³-2x²+5x-4

Trong đó:

• 3x³; -2x²; 5x; -4 là các hạng tử (Terms). 
• 3; −2; 5; −4: các hệ số (Coefficients). 
• x: biến số (Variable). 
• Bậc của đa thức là 3.

Đây là đa thức bậc 3 vì số mũ lớn nhất của biến (x) là 3.

Dựa trên số lượng hạng tử, đa thức có thể được phân loại thành:

• Monomial (Đơn thức): Đa thức có một hạng tử, ví dụ (5x²).
• Binomial (Nhị thức): Đa thức có hai hạng tử, ví dụ (x+3).
• Trinomial (Tam thức): Đa thức có ba hạng tử, ví dụ (x²+5x+6).

Việc nhận diện đúng các hạng tử và bậc của đa thức là bước nền tảng trước khi thực hiện phép chia.

2. Khái niệm phép chia đa thức

Chia đa thức là phép toán tìm thương và số dư khi lấy một đa thức chia cho một đa thức khác khác 0.

Một phép chia đa thức có thể được biểu diễn dưới dạng:

P(x)=D(x).Q(x)+R(x)

Trong đó:

• P(x): Đa thức bị chia (Dividend).
• D(x): Đa thức chia (Divisor).
• Q(x): Thương (Quotient).
• R(x): Số dư (Remainder).

Điều kiện quan trọng:

deg R(x) < deg D(x)

Trong đó, deg⁡ biểu thị bậc của đa thức. 

Ví dụ:

Xét phép chia: (x²+3x+5):(x+1) 

Ta có: x²+3x+5=(x+1).(x+2) + 3

Do đó: Q(x)=x+2

R(x)=3

Nếu số dư bằng 0, phép chia được gọi là phép chia hết (Exact Division).

Ví dụ: x²+5x+6=(x+2)(x+3)

Ta có: Q(x)=(x+3)

R(x)=0

Quy tắc và công thức chia đa thức trong SAT Math

Khi chia hai đơn thức có cùng biến, ta chia các hệ số và trừ các số mũ của biến tương ứng

Công thức:

(Với b≠0 và các số mũ phù hợp với phép chia đang xét)

Ví dụ: 5x⁶ /5x²

Giải thích:

• Chia hệ số: (15:5=3).
• Trừ số mũ: (6-2=4).

Vậy kết quả là 3x⁴

Một số lưu ý khi thực hiện phép chia:

• Sắp xếp các hạng tử theo số mũ giảm dần.
• Nếu thiếu một bậc, có thể thêm hạng tử có hệ số 0 để giữ đúng vị trí.
• Khi thực hiện phép trừ, cần đổi dấu toàn bộ hạng tử của biểu thức bị trừ.
• Dừng phép chia khi bậc của phần dư nhỏ hơn bậc của số chia.
• Khi rút gọn phân thức, phải giữ lại điều kiện xác định của biểu thức ban đầu.

Hướng dẫn 4 bước chia đa thức bằng phương pháp chia dài (Polynomial Long Division)

Phương pháp chia dài là cách thực hiện phép chia đa thức theo trình tự tương tự phép chia số nguyên. Phương pháp này đặc biệt hữu ích khi cần tìm đầy đủ thương và số dư.

Xét ví dụ: (2x²+5x+3):(x+1)

Bước 1: Sắp xếp các hạng tử theo số mũ giảm dần

Đa thức bị chia: 2x²+5x+3

Đa thức chia: x+1

Cả hai đã được sắp xếp theo số mũ giảm dần nên có thể bắt đầu thực hiện phép chia.

Bước 2: Chia hạng tử có bậc cao nhất

Lấy hạng tử bậc cao nhất của đa thức bị chia chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia:

2x²/x=2x

Vậy hạng tử đầu tiên của thương là (2x).

Bước 3: Nhân thương vừa tìm được với số chia 

Nhân (2x) với toàn bộ đa thức chia:

2x(x+1)=2x²+2x

Bước 4: Thực hiện phép trừ

(2x²+5x+3)-(2x²+2x) = 3x+3

Bước 5: Lặp lại phép chia đến khi tìm được số dư

Tiếp tục lấy hạng tử bậc cao nhất của phần còn lại chia cho hạng tử bậc cao nhất của số chia:

Vì số dư bằng 0 nên (x+1) là một nhân tử của (2x²+5x+3).

Mẹo kiểm tra kết quả

Sau khi hoàn thành phép chia, có thể kiểm tra bằng công thức:

P(x)=D(x)⋅Q(x)+R(x)

Thay kết quả vào:

(x+1)(2x+3)+0 =2x²+5x+3

Kết quả trùng với đa thức ban đầu nên phép chia chính xác.

Bài tập chia đa thức trong SAT Math

Bài tập 1: What is the quotient when x²+7x+12 is divided by x+3?

1. x+3
2. x+4
3. x−4
4. x+12

Lời giải:

Ta có: x²+7x+12=(x+3)(x+4)

Do đó: Q(x)=x+4​ 

Đáp án: B

Bài tập 2: When P(x)=x³−2²+3x+5 is divided by x−2, what is the remainder?

1. 5
2. 7
3. 9
4. 11

Bài tập 3: Which of the following is a factor of x³−4x²−x+4?

1. x−1
2. x−2
3. x+2
4. x+3

Bài tập 4: What is a root of x(x – 1)(x + 1) = 27 – x? 

1. –9 
2. –1 
3. 3 
4. 1 
5. 9 

Bài tập 5: What are the factors of 2x³ + 8x² – 192x?

1. 2(x – 8)(x + 12) 
2. 2x(x – 8)(x + 12) 
3. x(2x – 8)(x + 24) 
4. 2x(x + 16)(x – 12) 
5. 2(x² – 8x)(x² + 12x) 

Từ vựng tiếng Anh về chia đa thức trong SAT Math

Luyện SAT Math theo lộ trình cá nhân hóa tại ETEST

Để đạt kết quả tốt trong SAT Math, học sinh không chỉ cần học thuộc công thức mà còn phải hiểu vì sao sử dụng công thức đó, nhận diện dạng bài và lựa chọn cách giải phù hợp.

Tại ETEST, học sinh được xây dựng lộ trình luyện SAT dựa trên năng lực và mục tiêu cá nhân, kết hợp củng cố kiến thức nền, luyện tập theo từng nhóm kỹ năng và rèn khả năng xử lý câu hỏi Digital SAT. Đội ngũ giáo viên có thành tích SAT 1600/1600 đồng hành cùng học sinh trong quá trình học và giải đáp những điểm còn chưa vững.

Tư vấn lộ trình 1:1 cùng giáo viên đạt 1600/1600 SAT để xác định nền tảng hiện tại và xây dựng hướng ôn luyện phù hợp với mục tiêu SAT.